510 Mathematik
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In dieser Arbeit werden zwei gradientenbasierte Verfahren zur Lösung nichtlinearer Optimie-rungsaufgaben vorgestellt. Neben der Theorie der Verfahren werden konkrete algorithmische Umsetzungen beschrieben und Hinweise zur Implementierung gegeben. Ein Vergleich der Algorithmen mit gängigen Optimierungsverfahren erfolgt anhand einiger ausgewählter Testfunktionen.
Die Partitionstheorie vereinigt viele mathematische Gebiete. In dieser Arbeit gebe ich einen ersten Einblick in diese Theorie. Dazu werden verschiedene Herangehensweise betrachten, unter anderem unter Verwendung grafischer Darstellungen und unter Einbezug von erzeugenden Funktion. Abschließend wird über das Prinzip der Inklusion und Exklusion, ein weiterer Betrachtungswickel eingeschlagen. Mit Hilfe der Verbandsstrukturen lassen sich Identitäten leicht nachweisen und neue Berechnungsvorschriften entwickeln.
In dieser Arbeit wird ein mathematisches Modell beschrieben, welches den O2- und CO2-Stoff-wechsel am isolierten Herzen in den drei Kompartimenten Plasma, interstitiale Flüssigkeit und Parenchymalzellen beschreibt unter Berücksichtigung des Carbonat- und Phosphatpuffergleich-gewichtes. Mit Hilfe dieses Modells wird nach möglichen Sensoren für eine experimentell festge-stellte Flussänderung unter hyperkapnischen Bedingungen gesucht. Dazu werden die Zeitska-len der einzelnen Prozesse analysiert und es wird versucht einen Regelkreis zur Flusssteuerung in das Modell einzubringen. Zudem wird das Modell in MatLab implementiert, um dort mittels Bayes’scher Datenanalyse die Parameter des Modells an die experimentell gemessenen Werte anzupassen
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einem relativ jungen Gebiet innerhalb der angewandten Mathematik, dem Compressed Sensing. Darin geht es zum einen um die Frage, wie man einen dünn besetzten, hochdimensionalen Vektor durch lineare Projektionen in seiner Dimension reduzieren kann, ohne dass dabei Information verloren geht. Dieses "Sensing"-Verfahren ist nicht-adaptiv, d.h. es soll für jeden dünn besetzten Vektor mit der gleichen Anzahl von null verschiedener Elemente gleichermaßen funktionieren und auch nicht während des Prozesses auf bereits berechnete Projektionen zurückgreifen. Zum anderen geht es um die Rekonstruktion des dünn besetzten Vektors aus diesen Projektionen, welche wesentlich weniger in der Zahl sind, als die Dimension des gesuchten Vektors. Das führt auf ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem, das zunächst unendlich viele Lösungen hat. Zusammen mit der Forderung der Dünnbesetztheit an die Lösung führt dies auf ein NP-schweres kombinatorisches Optimierungsproblem. Die Theorie von Compressed Sensing bietet nun Antworten auf die Fragen, wann dieses Problem l¨osbar ist und wie man es mit effizienten Verfahren der Optimierung praktisch lösen kann. Ziel dieser Arbeit ist es, einen einführenden Überblick in das Sparse Reconstruction Problem zu geben und eine Auswahl wichtiger theoretischer Resultate zu präsentieren. Dabei wird zum einen die konvexe Relaxation des NP-schweren Problems betrachtet, welche mit Methoden der konvexen Optimierung effizient gelöst werden kann. Zum anderen werden schnelle Approximationsverfahren betrachtet, welche das kombinatorische Problem direkt approximativ lösen. Dabei wird sich auf eine Auswahl beschränkt, die keinen Anspruch auf Vollständigkeit erhebt, da es kurz nach Etablierung der Theorie eine wahre Explosion an Veröffentlichungen auf diesem Gebiet gab. Dennoch werden die wichtigsten Resultate und Ansätze präsentiert und durch simulative Berechnungen bestätigt und illustriert, wobei die präsentierten Verfahren zum großen Teil selbst implementiert wurden.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der hierarchischen Partitionierung von Hypergraphen, die im Prozess der Chipentwicklung durch Netzlisten einer integrierten Schaltung entstehen. Das Problem der Partitionierung ist dabei NP-schwer, sodass Heuristiken für die entsprechende Partitionierung verwendet werden. Erschwerend kommt hinzu, dass die Hypergraphen meist eine große Ordnung, mehr als 10^5 Knoten, aufweisen. Ziel dieser Arbeit ist es, ein Modell für eine derartige Partitionierung zu erstellen, welches Resultate aus vorangegangenen Arbeiten berücksichtigt und die Platzierung der Elemente des integrierten Schaltkreises im Fokus hat. Des Weiteren wird die Tauglichkeit vorhandener Algorithmen auf die erwähnte Modellierung geprüft, weiter werden vorhandene Algorithmen modifiziert und eigene Algorithmen konzipiert. Dabei wird darauf geachtet, dass die Algorithmen auf Hypergraphen mit großer Ordnung anwendbar sind. Diese Algorithmen werden dazu auf Hypergraphen des Benchmarks "ISPD 05/06" angewandt.
In dieser Arbeit wird die Klasse der Chordalen Graphen vorgestellt. Dafür werden zunächst einige Grundlagen zu den Chordalen Graphen vorgestellt wie wichtige Definitionen, Eigenschaften, einige Sätze zu dieser Graphenklasse und ein Überblick über wichtige Literatur. Anschließend wird beschrieben, wie man Chordale Graphen erkennen kann und mit welchen anderen Graphenklassen sie im Zusammenhang stehen. Abschließend wird noch auf zwei der bekanntesten Algorithmen für Chordale Graphen eingegangen.